วิวัฒนาการของตัวเลขมีมาตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน
มีผู้คิดค้นพัฒนามาหลายๆรูปแบบ เพื่อใช้แทนจำนวนของการนับ เช่น
ชาวกรีกใช้การนับนิ้วมือหรือก้อนหิน
ในสมัยอียิปต์ใช้รูปภาพแทนตัวเลขชาวบาบิโลนใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ เป็นต้น
สมัยโรมันมีการใช้ระบบเลขโรมัน
ช่วงปี พ.ศ.243-443 โดยนำตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเป็นตัวเลขโรมันเป็นสัญลักษณ์พื้นฐาน 7 ตัว คือ I,
V, X, L, C, D, และ M ซึ่งปัจจุบันมีการใช้เลขโรมันอยู่แต่ไม่เป็นที่แพร่หลาย
ดังนี้
เลขโรมัน
เลขอารบิก
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M
1,000
ตัวเลข
หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจำนวนของสิ่งต่างๆ ว่ามีปริมาณมากหรือน้อย
ปัจจุบันนิยมใช้ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งใช้งานง่าย สะดวก และเป็นสากล ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 และ 9
เมื่อนำตัวเลขหลายๆตัวมาประกอบกันจะเป็นระบบจำนวนต่างๆ
ที่คุ้นเคยและใช้กัน
1.1 ประเภทของระบบจำนวน
การใช้ตัวเลขเพื่อแสดงข้อมูลต่างๆในชีวิตประจำวัน เช่น อัตราแลกเปลี่ยนเงิน ข้อมูลสถิติต่างๆ การวัดระยะทางจากสถานที่หนึ่งไปสถานที่หนึ่ง การนับคะแนนเลือกตั้งนากองค์การบริหารจังหวัด เป็นต้น โดยตัวเลขที่ใช้มีทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน ขึ้นอยู่กับความเหมาะสมของตัวเลขที่จะนำไปใช้ในงานประเภทต่างๆ ซึ่งจำนวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทุกคนทั้งในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์จะเป็นจำนวนจริง ซึ่งระบบจำนวนจริง (Peal Numbers) หมายถึง ระบบที่ประกอบด้วยจำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ เช่น -3,2,10,2.51,0.1498......,1/4, เป็นต้น จำนวนจริงที่ใช้กันอยู่ทุกวันนี้ประกอบด้วยจำนวนต่างๆ ซึ่งถือกำเนิดขึ้นมาจากากรพัฒนาระบบการนับของมนุษย์นั่นเอง (คณาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์,2551 : 77) เพื่อให้เข้าใจในเรื่องจำนวนจริง จึงแบ่งประเภทของตัวเลขเป็นจำนวนต่างๆเพื่อให้เข้าใจง่ายในการทำความเข้าใจและเป็นพื้นฐานเบื้องต้นของการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ ประเภทของระบบจำนวนจริง ดังแสดงในแผนภูมิที่ 1.1
แผนภูมิที่ 1.1 ประเภทของระบบจำนวนจริง
จากแผนภูมิที่ 1.1 จะเห็นว่าจำนวนจริงแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ มีรายละเอียดดังนี้
1.1.1 จำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) หมายถึง จำนวนที่เขียนได้ในรูป a/b โดยที่ a และ b ต่างก็เป็นจำนวนเต็มและ b ≠ 0 หรือกล่าวได้ว่า จำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้โดยที่ส่วนไม่เป็นศูนย์
1. จำนวนเต็ม (Integers) คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น เช่น 1,3,-4,-8 เป็นต้น จำนวนเต็มแบ่งได้เป็น 3 ชนิดคือ
(1) จำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่มากกว่าศูนย์หรือเรียกว่า จำนวนนับ (Counting Numbers) เพราะเป็นจำนวนที่ใช้นับสิ่งของต่างๆ โดยนับจำนวนเริ่มต้นคือ 1 และนับเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น 1,2,3,..... บางครั้งจะเรียกจำนวนนับอีกอย่างหนึ่งว่าจำนวนธรรมชาติ (Natural Numbers) จากที่กล่าวมาข้างต้น เพื่อแสดงให้เห็นจำนวนเต็มบวก ได้อย่างชัดเจนจึงนำตัวเลขต่างๆมาเขียนบนเส้นจำนวน จะเห็นว่าจำนวนเต็มบวกอยู่ไปทางด้านขวามือของเลข 0 ไปเรื่อยๆ ดังรูปที่ 1.1
รูปที่ 1.1 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มบวก
ข้อสังเกต จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 1 แต่จำนวนที่มากที่สุด ไม่สามารถบอกค่าได้
ในเรื่องจำนวนนับมีเรื่องที่สำคัญที่ต้องกล่าวถึงอีกคือ จำนวนนับจำแนกได้อีก 2 ประเภท คือ จำนวนคู่และจำนวนคี่ ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้
1. จำนวนคู่ (Odd Number) คือจำนวนนับที่ 2 หารได้ลงตัว เช่น 2,4,6,...
2. จำนวนคี่ (Even Number) คือจำนวนนับที่ 2 หารแล้วเหลือเศษ เช่น 1,3,5,...
จากที่กล่าวมาจะยกตัวอย่างตัวเลขเพื่อแสดงว่าจำนวนใดเป็นจำนวนคู่หหรือจำนวนคี่ ดังนี้
10 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 10 หาร 2 = 5
46 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 46 หาร 2 = 23
121 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 121 หาร 2 ได้ 60 เศษ 1
เมื่อนำจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ มาบวกหรือคูณกันจะได้เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่นั้นมีข้อสังเกตบางประการของการบวกและการคูณจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ดังนี้
การบวก
- จำนวนคู่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่
เช่น 2+6 = 8,4+8 = 12
- จำนวนคู่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคี่
เช่น 2+3 = 5,4+5 = 9
- จำนวนคี่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่
เช่น 1+1 = 2,3+5 = 8
การคูณ
- จำนวนคู่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่
เช่น 2 = 8,4+8 = 12
- จำนวนคู่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคู่
เช่น 2+3 = 5,4+5 = 9
- จำนวนคี่ + จำนวนคี่ จะได้ จำนวนคี่
เช่น 1+1 = 2,3+5 = 8
(2) จำนวนเต็มลบ (Negative Integers) เป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมาณที่น้อยกว่าศูนย์ เขียนแทนด้วยเลขจำนวนนับที่มีเครื่องหมายลบอยู่ด้านหน้า โดยจำนวนเต็มลบเริ่มจาก -1 และลดลงทีละ 1 ไปเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด เช่น -2,-3,-5,... เป็นต้น หรือกล่าวได้ว่าจำนวนเต็มลบจะอยู่ทางด้านซ้ายมือของเลข 0 บนเส้นจำนวน ดังแสดงในรูปที่ 1.2
รูปที่ 1.2 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มลบ
ข้อสังเกต จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุดคือ -1 แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่าน้อยที่สุดไม่สสามารถบอกค่าได้
(3) จำนวนเต็มศูนย์ คือ ตัวเลข 0 เป็นจำนวนที่อยู่ห่างจาก 1 ไปทางซ้ายมือ เป็นระยะทาง 1หน่วย
รูปที่ 1.3 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มศูนย์
เลข 0 จะมีคุณสมบัติของตัวเลข 0 ที่สำคัญ คือ
เมื่อนำ 0 ไปบวกกับจำนวนใดๆ ผลลัพธ์จะได้เป็นจำนวนนั้นๆเสมอ เช่น 1+0 = 0+1 = 1 , (-7)+0 = 0+ (-7) = -7
เมื่อนำ 0 ไปคูณกับจำนวนใดๆ ผลลัพธ์จะได้เป็น 0 เสมอ เช่น 4 * 0 = 0 * 4 = 0
การหาร 0 ด้วยจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 เช่น
กล่าวโดยสรุปในเรื่องของจำนวนเต็ม แบ่งได้เป็น 3 ชนิด คือ จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และจำนวนเต็มศูนย์ เพื่อให้เข้าใจจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และจำนวนเต็มศูนย์อย่างชัดเจนจะนำตัวเลขต่างๆมาเขียนแสดงรวมทั้งหมดบนเส้นจำนวน ดังแสดงในรูปที่ 1.4
รูปที่ 1.4 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มประเภทต่างๆ
จากรูปที่ 1.4 จะเห็นจำนวนเต็มประเภทต่างๆที่แสดงบนเส้นจำนวน ดังนี้ จำนวนเต็มศูนย์อยู่ตรงกลางของเส้นจำนวน จำนวนเต็มบวกอยู่ทางด้านขวามือของเลขศูนย์ โดยตัวเลขเริ่มต้นคือ 1 และเพิ่มขึ้นทีละ 1 ไปเรื่อยๆ ส่วนจำนวนเต็มลบอยู่ทางด้านซ้ายมือของเลขศูนย์ โดยตัวเลขเริ่มต้นคือ -1 และมีค่าลดลงไปทีละ -1 ไปเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด
2. จำนวนเศษส่วน (Fractions) เป็นจำนวนที่สร้างขึ้นเพื่อใช้แทนจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยทั่วไปเศษส่วนใดๆเขียนได้ในรูป a/b โดย a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 เรียก a ว่าตัวเศษ (Numerator) หมายถึง จำนวนส่วนแบ่งที่ต้องการ และ b ว่า ตัวส่วน (Denominator) หมายถึง จำนวนทั้งหมดที่มีอยู่เช่น 1/3 เรียก 1 ว่าเศษ และเรียก 3 ว่าส่วน หมายถึง มีของอยู่ทั้งหมด 3 ส่วนต้องการเพียง 1 ส่วน เพื่อแสดงจำนวนเศษส่วนให้เห็นชัดเจนขึ้น จึงนำไปเขียนแสดงบนเส้นจำนวนโดยใน 1 หน่วย ความยาวบนเส้นจำนวน จะแบ่งความยาวออกเป็นส่วนๆที่เท่าๆกัน ดังรูปที่ 1.5
รูปที่ 1.5 เส้นจำนวนแสดงจำนวนเศษส่วน
จากรูปที่ 1.5 อธิบายได้ว่า เส้นจำนวนแบ่งระยะห่างออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆกัน จุด A,B,C มีความหมายดังนี้
จุด A แทน 1/3 แสดงว่าจุด A อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 1 ส่วนของทั้งหมด3 ส่วน
จุด B แทน -2/3 แสดงว่าจุด B อยู่ห่างจาก 0 ไปทางซ้ายมือเป็นระยะทาง 2 ส่วนของทั้งหมด 3 ส่วน
จุด C แทน 5/3 แสดงว่าจุด C อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 5 ส่วนของทั้งหมด3 ส่วน
เศษส่วนสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้
1. เศษส่วนแท้ คือ เศษส่วนที่มีค่าน้อยกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วน เช่น 1/4,3/5
2. เศษส่วนเกิน คือ เศษส่วนที่มีค่ามากกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่ามากกว่าตัวส่วน เช่น 3/2,5/3
3. เศษส่วนจำนวนคละ คือ เศษส่วนที่มีจำนวนเต็มส่วนหนึ่งกับเศษส่วนของจำนวนเต็มอีกส่วนหนึ่ง
ข้อสังเกต ของจำนวนเศษส่วน
จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ คือ ส่วนเป็น 1 เสมอ แต่ไม่นิยมเขียน 1กำกับไว้
สามารถเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนให้เป็นทศนิยมได้โดยนำตัวส่วนไปเป็นตัวหารเศษ
กรณี 2/9 = 0.222... เมื่อหารไปเรื่อยๆจะได้เลข 2 ซ้ำกันเพราะหารเหลือเศษเท่ากันทุกครั้ง ทศนิยมที่ได้นี้เรียกว่า ทศนิยมซ้ำ เช่น 1/15 = 0.0666... หรือ 0.06 อ่านว่า ศูนย์จุดศูนย์หก หกซ้ำ , 5/6 = 0.8333... หรือ 0.83 อ่านว่า ศูนย์จุดแปดสาม สามซ้ำ , 3/4 = 0.75 หรือ 0.750 อ่านว่าศูนย์จุดเจ็ดห้าศูนย์ ศูนย์ซ้ำ เพราะเมื่อหารไปเรื่อยๆจะได้ศูนย์ซ้ำ แต่จะไม่นิยมเขียนศูนย์ซ้ำ ดังนั้นเศษส่วนทุกจำนวนสามารถเปลี่ยนเป็นรูปทศนิยมซ้ำได้
3. จำนวนทศนิยม (Decimal Numbers) เป็นจำนวนที่ประกอบไปด้วย 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นทศนิยม และใช้สัญลักษณ์จุด (.) คั่นระหว่างส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นทศนิยมหรือการเขียนตัวเลขแสดงจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 1
จำนวนทศนิยมที่เป็นจำนวนตรรกยะสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ
(1) ทศนิยมรู้จบ เป็นจำนวนที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมแน่นอนหรือมีศูนย์ซ้ำ เช่น 1.2, 3.55, 9.245 เป็นต้น
(2) ทศนิยมไม่รู้จบชนิดซ้ำกัน เป็นจำนวนที่มีเลขทศนิยมตัวหนึ่งหรือมากกว่าซ้ำๆกันไม่มีที่สิ้นสุด โดยคาดเดาเลขทศนิยมตัวตต่อไปได้ว่าจะเป็นเลขอะไร เช่น 0.23, 1.54, 40.64 เป็นต้น
1.1.2 จำนวนอตรรกยะ
จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวหารไม่เป็นศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำและสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
จำนวนอตรรกยะสามารถแบ่งได้ เป็น 3 ประเภท คือ
1. จำนวนที่อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์ และไม่สามารถถอดค่าออกมาได้เป็นตัวเลขที่แน่นอน เช่น = 1.73205080757....... เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำกัน ได้แก่ ทศนิยมที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมมากมายโดยไม่ซ้ำกันและไม่สามารถคาดเดาตัวเลขตัวต่อไปได้เลยว่าเป็นเลขอะไร เช่น 0.5836..., 1.2573..., 3.4925... เป็นต้น
3. ค่า และ e โดย เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
1.2 สมบัติของจำนวนจริง
สมบัติของจำนวนจริง มีความสำคัญต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนต่างๆในระบบจำนวนจริง การดำเนินการนี้หมายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของจำนวนจริงมีความสำคัญเพราะเป็นพื้นฐานในการศึกษาขั้นสูงต่อไปทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ จำนวนจริงใดๆจะมีสมบัติการเท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัติการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้
1.2.1 สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้
1. สมบัติการสะท้อนคือ a = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆย่อมเท่ากับจำนวนจริงจำนวนนั้น เช่น 4 =4 , 6 = 6
2. สมบัติการสมมาตร คือ ถ้า a = b แล้ว b = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆที่เท่ากัน สามารถสลับตำแหน่งกันได้ เช่น a = 6 แล้ว 6 = a หรือ b= -2 และ -2 = b
3. สมบัติการถ่ายทอด คือ ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริง ถ้าจำนวนที่หนึ่งเท่ากับจำนวนที่สองและจำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สามแล้ว จำนวนที่หนึ่งและจำนวนที่สามจะเท่ากันด้วย
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อบวกแต่ละจำนวนด้วยจำนวนที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a + 9 = b + 9
b = c แล้ว b + 1 = c + 1
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a*c = b*c หรือกล่าวได้ว่าถ้าจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อคูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a *3 = b *3
b = c แล้ว b 4 = c 4
จากที่กล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง จะมีสมบัติ 5 ข้อ คือสมบัติการสะท้อน สมบัติการสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน และสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน เพื่อความเข้าใจในเรื่องสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
1.2.2 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง มีดังนี้
1. สมบัติปิดการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a+b เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น 1และ 5 เป็นจำนวนจริง 1 + 5 = 6 เป็นจำนวนจริงด้วย
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a เช่น 4 + 5 = 5 + 4 เพราะได้คำตอบเท่ากับ 9 เท่ากัน
4. เอกลักษณ์การบวก เนื่องจากในระบบจำนวนจริง มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ถ้า a เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรืออาจกล่าวได้ว่า 0 เมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น เช่น 4 + 0 = 0 + 4 = 4
5. อินเวอร์สการบวก คือ a + (-a) = (-a) + a = 0 นั่นคือในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สการบวก หรืออาจกล่าวได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจะมีจำนวนจริง จำนวนหนึ่งเขียนแทนด้วย -a ที่ทำให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรียก -a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a นั่นคือ ถ้าสองจำนวนบวกกันได้เท่ากับ 0 จะเรียกว่าจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน
1.2.3 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง มีดังนี้
1. สมบัติปิดการคูณ คือ a*b หรือเขียนเป็น ab ได้จำนวนจริงด้วย กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b เป็นจำนวนจริงด้วย
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ คือ a*b = b*a หรือเขียนเป็น ab = ba กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b = b*a
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ คือ a* (b*c) = (a*b)*c a หรือเขียนเป็น (bc) = (ab)c กล่าวคือ ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a* (b*c) = (a*b)*c a
4. เอกลักษณ์การคูณ คือ (1*a) = (a*1) = a ในระบบจำนวนจริง กำหนดให้ 1 เป็นสัญลักษณ์สำหรับการคูณ ถ้า a เป็นจำนวนจริง แล้วจะได้ 1*a = a*1 = a หรือกล่าวได้ว่า 1 เมื่อนำไปคูณกับจำนวนใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น
5. อินเวอร์สการคูณ สำหรับจำนวนจริงใดๆที่ a ≠ 0 แต่ะจำนวนจะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เขียนแทนด้วยว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 จะเรียกจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของกันและกัน
6. สมบัติการแจกแจง
จากที่กล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการคูณของจำนวนจริง จะมีสมบัติ 6 ข้อคือ สมบัติปิดการคูณ สมบัติการสลับที่ของการคูณ สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ เอกลักษณ์การคูณ อินเวอร์สการคูณ สมบัติการแจกแจง ดังกล่าวข้างต้นเพื่อความเข้าใจในเรื่องสมบัติกาารคูณของจำนวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอย่าง
